基本不等式及应用是高中阶段一个重要的知识点；其方法灵活，应用广范。在学习过程中要求学生对公式的条件、形式、结论等要熟练掌握，才能灵活运用。
一、基本不等式：
1.a,b∈R，a2 b2≥2ab，当且仅当a=b等号成立，
2.a,b∈R ，a b≥2-，当且仅当a=b等号成立。
二、问题1：设ab﹤0,则:- -的取值范围是( )
(A)(-∞ -2 ] (B)(-∞ 2] (C)[-2 ∞) (D)[2 ∞)
解题辨析：
常见错误解法：因为-与-的积为定值，其和有最小值，
即- -≥2所以选择答案(D)。此解法是错的，是因为-﹤0
-﹤0并不满足不等式：a b≥2-中字母的条件；
正确方法是：因ab﹤0，所以(--)＞0，(--)＞0
(--) (--)≥2，即- -≤-2，正确答案是(A)
问题2：已知x是正实数，求函数y=x2 -的最小值？
解题辨析：
常见错误解法：因x是正实数，y=x2 -≥2-,所以y=x2 -的最小值是2-，当且仅当x2=-，即x=-时，等号成立；此解法错误的原因是x2与-的积
2-并不是定值。
正确结论：对于两个正数a与b，
当和为定值，当且仅当a=b时，其积有值；
当积为定值，当且仅当a=b时，其和有最小值。
正确方法是：因x是正实数，y=x2 -=x2 - -
≥3·■=3,
当且仅当：x2=-等号成立，即x=1时，y=x2 -的最小值是3
问题3：已知x,y都是正实数，且x 4y=1，求：- -的最小值？
解题辨析：
常见错误解法：因为x,y都是正实数1=x 4y≥2-
即1≥4-＞0，- -≥
2-＞0，两式相乘得- -≥8
所以- -的最小值是8，此解法错误的原因是不等式x 4y≥2-取等号的条件是x=4y，而不等式- -≥2-取等号的条件是x=y，而这两个条件不可能同时成立，因此- -≥8中的等号不成立。
正确方法是：x,y都是正实数，且x 4y=1，所以- -=(- -)·（x 4y)=1 4 (- -)≥5
2-=9，当且仅当-=-等号成立，
即当且仅当x=-，y=-时，- -取得最小值是9
问题4：已知x,y,m,n∈R，且x2 y2=2,m2 n2=4，求：xm yn的值？
解题辨析：
常见错误解法：
xm yn≤(x2 m2)/2 (y2 n2)/2=(x2 y2 m2 n2)/2=3
即：xm yn的值为3
此解法错误的原因是当xm yn取得值3时，x=m，y=n要同时成立，即有x2 y2=m2 n2，而这是不可能的。
正确解法：因为x2 y2=2,m2 n2=4，两式相乘
8=x2m2 n2y2 x2n2 y2m2≥x2m2 n2y2 2xymn
8≥(xm ny)2∴|xm ny|≤2-
即当且仅当xn=ym时，xm yn取值为2-
总之，基本不等式解决问题并不是万能的。学习过程中，要深刻理解基本不等式的内在实质，搞清其条件、公式、结论之间的辩证关系是关键。特别对于第二个基本不等式，我们常说“一正、二定、三等号”，其意义就在于此。
训练题
一、填空题：
1.已知x,y都是正实数，且- -=1,则x y最小值是_______，
当且仅当x=_______,y=_______,
2.已知：abc均为实数，且a2 b2 c2=1,则ab bc ca的值是________
最小值是_________。
3.已知：a,b都是正实数，且a b=1，则(a -)2 (b -)2的最小值是__________。
二、选择题：
1.已知：a,b都是正实数，且a b=1，则- -的值是( )
(A)-(B)-(C)2-(D)3
2.已知实数a，b，c满足：a b c=5且a2 b2 c2=11,则实数c的范围是( )
(A)R(B)[- 2](C)(- 3)(D)[- 3]
三、解答题：
1.已知矩形的面积与其周长相等，求其面积的最小值？
2.⑴比较大小：㏒23_____㏒34,㏒56______㏒67
⑵根据上述结论作出推广，试写出一个有关于自然数n的不等式，并证明之。
答案：
一、 填空题：
1. x y最小值是9， 当且仅当 x=6,y=3。
2. ab bc ca的值是1 , 最小值是--。
3.(a -)2 (b -)2的最小值是- , 二、 选择题：
1.(C), 2.(D)
三、 解答题：
1.16
2.⑴ ㏒23＞㏒34 , ㏒56＞㏒67
⑵ ㏒n(n 1)＞㏒(n 1)(n 2)， 只要证明： ㏒(n 1)n·㏒(n 1)(n 2)﹤1即可。
华东模范中学 马兰军