王某和张某产生合同纠纷，根据事先达成的仲裁协议提交仲裁机构处理。在仲裁过程中，王某发现仲裁员刘某私下接受张某代理人的请客，于是向仲裁庭提出申请，要求仲裁员刘某回避。根据案情，下列说法中正确的是：

A、刘某的回避决定由仲裁委员会主任作出
B、刘某回避之后应当依照仲裁法的规定重新选定或者指定仲裁员
C、重新选定仲裁员后，王某可以请求已经进行的仲裁程序重新进行，法院应当允许
D、仲裁庭也可以自行决定已经进行的仲裁程序是否重新进行